První, druhá a třetí kosmická rychlost

Autor: Miroslav Šulc

Znázornění kosmických rychlostí.

V souvislosti s rozvojem kosmonautiky (podle ruské terminologie; americká terminologie pracuje s pojmem „astronautika“, což považuji za méně vhodné, neboť ke hvězdám se nelétá, kdežto do kosmu ano) je pojem „kosmická rychlost“ i neodborníku blízká, avšak pravděpodobně by ji nedokázal definovat, nehledě k tomu, že „kosmických rychlostí“ je více, a navíc pro ně existují častěji užívaná synonyma. Také jejich hodnoty nejsou pravděpodobně každému zájemci vždy známy. Cílem tohoto příspěvku je připomenout jejich smysl, velikosti a zejména objasnit, jak se k uvedeným hodnotám dospěje.

 

K tomuto cíli je třeba uvést související fyzikální pojmy a důležité hodnoty.

1. Pojmy z mechaniky

1. 1. Potenciální (polohová) energie

Tělesu o hmotnosti  m,  které se nalézá v homogenním tíhovém poli s tíhovým zrychlením  g  ve výšce  h  nad zvolenou základní rovinou přísluší potenciální energie

Ep = m g h ,

která se při volném pádu (bez odporu vzduchu) mění na jiný druh energie, a tím je kinetická (pohybová energie). Konstanta  g  se nazývá normální tíhové zrychlení a má dohodnutou velikost  g = 9,80665 m.s-2.

1. 2. Kinetická (pohybová) energie

Těleso o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, má kinetickou energii

Ek = m v2/2 .

Tato energie se může také měnit na jiné druhy energie včetně nemechanických (např. tepelnou).

1. 3. Pohyb po kružnici

Pohyb tělesa o hmotnosti m po kružnici o poloměru r je zapříčiněn dostředivou silou o velikosti

Fd = m v2/ r .

2. Pojmy z teorie gravitačního pole

2. 1. Newtonův gravitační zákon:

Každá dvě tělesa na sebe působí stejně velkými opačnými gravitačními silami. V případě, že tělesy jsou tuhé, stejnorodé koule o hmotnostech m1, m2, je velikost těchto sil udána vztahem

Fg = κ m1 m2 / r2 ,

kde r je vzdálenost středů těchto koulí a κ = (6,67428 ± 0,00067) . 10-11 N.m2.kg-2 (nebo také m3.kg-1.s-2) je Newtonova gravitační konstanta.

2. 2. Potenciální energie tělesa v centrálním gravitačním poli.

Centrální gravitační pole je vytvořeno hmotným bodem, případně tuhou homogenní koulí. V centrálním gravitačním poli se nedá potenciální energie tělesa vypočítat podle vztahu v bodě 1. 1, nýbrž podle vztahu

Ep = -κ m1 m2 / r .

Na rozdíl od předešlých vztahů se tento ve středoškolské fyzice nezavádí, neboť je odvoditelný pouze integrací. Přitom je stanoveno dohodou, že dvě nekonečně vzdálená tělesa mají nulovou potenciální energii. Proto nás nesmí překvapit, že potenciální energie soustavy přitahujících se těles je záporná. S rostoucí vzdáleností těles roste Ep směrem k nule.

3. Pojmy z teorie gravitačního pole

3. 1. Země

Hmotnost   mZ = 5,9736 . 1024 kg
Poloměr   rZ = 6,371 . 106 m   (Zemi považujeme za kouli)
Poloměr kruhové dráhy Země je RZ = 1,496 . 1011 m
Součin   κ mZ = 3,987 . 1014 m3.s-2

3. 2. Slunce

Hmotnost   mS = 1,9891 . 1030 kg
Součin   κ mS = 1,3276 . 1020 m3.s-2

4. Kosmické rychlosti

Tyto pojmy mají čistě teoretický význam, neboť při jejich zavádění zanedbáváme tyto skutečnosti: Ve všech případech existenci zemské atmosféry, v případě pohybů kolem Země také existenci Slunce. Rovněž zanedbáváme hmotnost obíhajícího tělesa (tedy obvykle družice) vůči hmotnosti tělesa centrálního.

4. 1. První kosmická rychlost vI

Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby se družice Země o hmotnosti m udržela na kruhové dráze těsně při povrchu Země. Výchozím vztahem je tvrzení, že dostředivá síla je představována silou gravitační, tedy

Fd = Fg

a po dosazení podle výrazů z 1. 3 a 2. 1

m vI2 = κ mZ m / rZ2 ,

což vede k výsledku

vI = √(κ mZ / rZ ) .

Dosadíme-li pak číselné hodnoty z 3. 1, máme

vI = 7,911 . 103 m.s-1 .

Místo „první kosmické rychlosti“ se používá pojem „rychlost kruhová“ při povrchu Země ( vk ). Uvedený postup je běžně uváděn ve středoškolské fyzice.

4. 2. Druhá kosmická rychlost vII

Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby družice opustila natrvalo gravitační pole Země (existence Slunce se neuvažuje). Jinými slovy – družice je schopna odletět od Země do nekonečna, kde se teprve může „zastavit“. Podle 2. 2 je její potenciální energie v nekonečnu nulová, kinetická rovněž, tedy součet obou je nulový, což ovšem musí platit na celé trajektorii (zákon zachování mechanické energie), tudíž i při startu z povrchu Země:

Ek + Ep = 0

tedy

m vII2 / 2 – κ mZ m / r = 0.

Řešením rovnice obdržíme

vII = √(2 κ mZ / rZ ) = vI √2 .

Po dosazení číselných hodnot máme

vII = vI √2 = 11,19 . 103 m.s-1 .

Poněvadž družice teoreticky odlétá po parabolické trajektorii, nazývá se nyní vII „parabolickou rychlostí“ při povrchu Země nebo rychlostí únikovou ( vp ). Její hodnota se ve středoškolské fyzice „předkládá k věření“ (pro nemožnost odvození výrazu pro Ep ).

5. Rychlosti při pohybu kolem Slunce

Pro zavedení třetí kosmické rychlosti je třeba nejprve vypočítat kruhovou a parabolickou rychlost při pohybu kolem Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce.

5. 1. Kruhová rychlost

Pro kruhovou rychlost platí  vk = √(κ mS / rZ ) = 29,79 . 103 m.s-1 .

To je také průměrná rychlost Země (její hmotnost se v této úvaze zanedbává vůči hmotnosti Slunce) při oběhu kolem Slunce.

5. 2. Parabolická rychlost

Pro parabolickou rychlost platí  vp = vk √2 = 42,13 . 103 m.s-1 .

6. Třetí kosmická rychlost vIII

Jedná se o rychlost, kterou musíme udělit družici na povrchu Země, aby opustila trvale sluneční soustavu (vliv planet neuvažujeme). V tomto případě jsou úvahy poněkud odlišné.

Především je při vypouštění družice optimální využít rychlost Země. Budeme ji tedy vypouštět (opět jen teoreticky) ve směru rychlosti Země. Tím pádem jí není nutno udílet rychlost 42,13 km.s-1, ale pouze (42,13 – 29,79) km.s-1 = 12,34 km.s-1. To ale není ještě správná hodnota, neboť jsme neuvažovali vliv gravitačního pole Země. Družici musíme dodat navíc ještě energii na překonání přitažlivosti Země. Poněvadž kinetická energie tělesa je přímo úměrná druhé mocnině jeho rychlosti, musíme sčítat druhé (nikoliv prvé!) mocniny hodnot rychlostí a výsledkem je druhá mocnina třetí kosmické rychlosti. Dostáváme:

vIII = √2 (12,342 + 11,192) km.s-1 = 16,66 . 103 m.s-1

Vzhledem k složitější povaze věci se třetí kosmická rychlost ve středoškolské fyzice nezavádí.

 

Doplňující literatura (překračuje obvyklý rozsah středoškolské fyziky, pozn. redakce)

HACAR, Bohumil: Mechanika sluneční soustavy, Brno 1942
TILLICH, Josef: Klasická mechanika, Universita Palackého, Olomouc 1966

2 komentáře První, druhá a třetí kosmická rychlost

  • Mikullas

    Ďakujem, že ste sa nebáli v popularizačnom článku použiť matematiku.

  • miroslav

    zajímavý článek.mám rád,když se jde do hloubky.